Giải tích Ví dụ

$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{1}{x}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , nên $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{1}{x}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.1.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Bước 1.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

Bước 2.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{u}$ .

$\int - e^{u} u d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int e^{u} u d u$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = e^{u}$ .

$- (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Bước 5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Bước 6

Rút gọn.

$- (u e^{u} - e^{u}) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{x}$ .

$- (\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - - e^{\frac{1}{x}} + C$

Bước 8.3

Nhân $- - e^{\frac{1}{x}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} + C$

Bước 8.3.2

Nhân $e^{\frac{1}{x}}$ với $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} + C$