Giải tích Ví dụ

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

Bước 1

Giả sử $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

Bước 1.1.2

Viết lại $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ ở dạng $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Viết lại $4 t^{2}$ ở dạng ${(2 t)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

Bước 1.1.2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

Bước 1.1.2.1.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

Bước 1.1.2.1.4

Viết lại đa thức này.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

Bước 1.1.2.1.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = 2 t$ và $b = 1$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

Bước 1.1.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Bước 1.1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.1.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.1.6

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.1.7

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.1.8

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $4$ với $4^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $4$ với $4^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Bước 1.3.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

Bước 1.3.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

Bước 1.3.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

Bước 1.3.3

Nhân $4$ với $4$ .

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

Bước 1.3.4

Cộng $64$ và $16$ .

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

Bước 1.3.5

Cộng $80$ và $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{81}$

Bước 1.3.6

Viết lại $81$ ở dạng $9^{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

Bước 1.3.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u_{lower} = 9$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

Bước 1.5.2

Nhân $4$ với $49$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

Bước 1.5.3

Nhân $4$ với $7$ .

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

Bước 1.5.4

Cộng $196$ và $28$ .

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

Bước 1.5.5

Cộng $224$ và $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{225}$

Bước 1.5.6

Viết lại $225$ ở dạng $15^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

Bước 1.5.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u_{upper} = 15$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $u$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{2} u^{2}$ tại $15$ và tại $9$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $15$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $225$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

Bước 5.2.3

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

Bước 5.2.4

Nhân $81$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

Bước 5.2.5

Kết hợp $- 81$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

Bước 5.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

Bước 5.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

Bước 5.2.8

Trừ $81$ khỏi $225$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

Bước 5.2.9

Triệt tiêu thừa số chung của $144$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $144$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

Bước 5.2.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

Bước 5.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

Bước 5.2.9.2.4

Chia $72$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 72$

Bước 5.2.10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $72$ .

$\frac{72}{2}$

Bước 5.2.11

Triệt tiêu thừa số chung của $72$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $72$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

Bước 5.2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

Bước 5.2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{36}{1}$

Bước 5.2.11.2.4

Chia $36$ cho $1$ .

$36$

Bước 6