Giải tích Ví dụ

$\int 8 x \ln (2 x) d x$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int x \ln (2 x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (2 x)$ và $d v = x$ .

$8 (\ln (2 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$8 (\ln (2 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 3.2

Kết hợp $\ln (2 x)$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Bước 3.4

Nhân $\frac{x^{2}}{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Bước 3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Bước 3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Bước 6.2

Viết lại $8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ ở dạng $8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$8 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 (\frac{1}{2} \ln (2 x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$