Giải tích Ví dụ

$\int 24 t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Bước 1

Vì $24$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $24$ ra khỏi tích phân.

$24 \int t^{7} e^{- t^{8}} d t$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = t^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 t d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = t^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 t$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$24 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ ở dạng ${u_{1}}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$24 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ ở dạng ${u_{1}}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{1}}^{3}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ và $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$24 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $24$ .

$\frac{24}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $24$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $24$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{12}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Bước 5.2.2.4

Chia $12$ cho $1$ .

$12 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Bước 6.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ ở dạng ${u_{2}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{2}}$ ở dạng ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u_{2}$ .

$12 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 7.3

Kết hợp $\frac{u_{2}}{2}$ và $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$12 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $12$ .

$\frac{12}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 9.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 9.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 9.2.2.4

Chia $6$ cho $1$ .

$6 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 10

Giả sử $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Sau đó $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Bước 10.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , nên đạo hàm của $- {u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$6 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Bước 11.2

Kết hợp $e^{u_{3}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$6 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$6 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Bước 13

Nhân $- 1$ với $6$ .

$- 6 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Bước 14

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- 6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 6$ .

$\frac{- 6}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 15.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 15.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 15.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 15.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 15.2.2.4

Chia $- 3$ cho $1$ .

$- 3 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 16

Tích phân của $e^{u_{3}}$ đối với $u_{3}$ là $e^{u_{3}}$ .

$- 3 (e^{u_{3}} + C)$

Bước 17

Rút gọn.

$- 3 e^{u_{3}} + C$

Bước 18

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $- {u_{2}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {u_{2}}^{2}} + C$

Bước 18.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với ${u_{1}}^{2}$ .

$- 3 e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

Bước 18.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $t^{2}$ .

$- 3 e^{- {({(t^{2})}^{2})}^{2}} + C$