Giải tích Ví dụ

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} + \frac{3}{y} d y$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{- 3}^{- 2} e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Bước 3

Giả sử $u = - 0.1 y$ . Sau đó $d u = - 0.1 d y$ , nên $\frac{1}{- 0.1} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = - 0.1 y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $- 0.1 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 0.1 y]$

Bước 3.1.2

Vì $- 0.1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 0.1 y$ đối với $y$ là $- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $- 0.1$ với $1$ .

$- 0.1$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = - 0.1 y$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot - 3$

Bước 3.3

Nhân $- 0.1$ với $- 3$ .

$u_{lower} = 0.3$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = - 0.1 y$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot - 2$

Bước 3.5

Nhân $- 0.1$ với $- 2$ .

$u_{upper} = 0.2$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0.3$

$u_{upper} = 0.2$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Bước 4.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{0.1}$ .

$2 \int_{0.3}^{0.2} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Bước 6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Bước 7

Vì $\frac{1}{0.1}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{0.1}$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (\frac{1}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{0.1}$ và $- 2$ .

$\frac{- 2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Bước 8.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

Bước 10

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 \int_{- 3}^{- 2} \frac{1}{y} d y$

Bước 11

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

Bước 12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $e^{u}$ tại $0.2$ và tại $0.3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

Bước 12.2

Tính $\ln (| y |)$ tại $- 2$ và tại $- 3$ .

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 12.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 (\ln (| - 2 |) - \ln (| - 3 |))$

Bước 13

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia $2$ cho $0.1$ .

$- 1 \cdot 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Bước 14.2

Nhân $- 1$ với $20$ .

$- 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Bước 14.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 20 e^{0.2} - 20 (- e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Bước 14.4

Nhân $- 1$ với $- 20$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

Bước 14.5

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 2$ và $0$ là $2$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{| - 3 |})$

Bước 14.6

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 3$ và $0$ là $3$ .

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

Dạng thập phân:

$1.35272566 \dots$

Bước 16