Giải tích Ví dụ

$\int_{- 3}^{- 1} 2 x {(5 - x^{2})}^{3} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{- 3}^{- 1} x {(5 - x^{2})}^{3} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 5 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 5 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $5 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 2.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 5 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 5 - {(- 3)}^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = 5 - 1 \cdot 9$

Bước 2.3.1.2

Nhân $- 1$ với $9$ .

$u_{lower} = 5 - 9$

Bước 2.3.2

Trừ $9$ khỏi $5$ .

$u_{lower} = - 4$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 5 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 5 - {(- 1)}^{2}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Bước 2.5.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{1 + 2}$

Bước 2.5.1.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{3}$

Bước 2.5.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Bước 2.5.2

Trừ $1$ khỏi $5$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 4$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{- 4}^{4} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int_{- 4}^{4} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{- 4}^{4} - \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \int_{- 4}^{4} \frac{u^{3}}{2} d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \int_{- 4}^{4} \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Bước 7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{1} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Bước 7.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{- 4}^{4})$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{- 4}^{4})$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\frac{u^{4}}{4}$ tại $4$ và tại $- 4$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $256$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Bước 10.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Bước 10.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Bước 10.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (\frac{64}{1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Bước 10.2.2.2.4

Chia $64$ cho $1$ .

$- (64 - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Bước 10.2.3

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $4$ .

$- (64 - \frac{256}{4})$

Bước 10.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $256$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $256$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4})$

Bước 10.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4 (1)})$

Bước 10.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1})$

Bước 10.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (64 - \frac{64}{1})$

Bước 10.2.4.2.4

Chia $64$ cho $1$ .

$- (64 - 1 \cdot 64)$

Bước 10.2.5

Nhân $- 1$ với $64$ .

$- (64 - 64)$

Bước 10.2.6

Trừ $64$ khỏi $64$ .

$- 0$

Bước 10.2.7

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0$

Bước 11