Giải tích Ví dụ

$\int_{2 \sqrt{2}}^{4} \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 4}} d t$

Bước 1

Giả sử $t = 2 \sec (t_{1})$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d t = 2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ dương.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1})) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \tan^{2} (t_{1})}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.6

Viết lại $4 \tan^{2} (t_{1})$ ở dạng ${(2 \tan (t_{1}))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \tan (t_{1}))}^{2}}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 \tan (t_{1})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $2 \tan (t_{1})$ ra ngoài ${(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.2.1.2

Đưa $2 \tan (t_{1})$ ra ngoài $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

Bước 2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) {(2 \sec (t_{1}))}^{3}} (2 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Bước 2.2.1.4

Viết lại biểu thức.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Bước 2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}}$ và $\sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sec (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

Bước 2.2.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (\sec (t_{1}))$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{2^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Bước 2.2.3.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Bước 2.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec (t_{1})$ và $\sec^{3} (t_{1})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.4.1

Nhân với $1$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Bước 2.2.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.4.2.1

Đưa $\sec (t_{1})$ ra ngoài $8 \sec^{3} (t_{1})$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Bước 2.2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Bước 2.2.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{8 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $t_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Bước 4.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ ở dạng ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

Bước 4.3

Viết lại $\sec (t_{1})$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

Bước 4.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

Bước 4.5

Nhân $\cos (t_{1})$ với $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 5

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t_{1})$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{1}{16} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{16} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d t_{1} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Bước 10

Giả sử $u = 2 t_{1}$ . Sau đó $d u = 2 d t_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = 2 t_{1}$ . Tìm $\frac{d u}{d t_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 t_{1}$ .

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t_{1}$ , nên đạo hàm của $2 t_{1}$ đối với $t_{1}$ là $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ là $n {t_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t_{1}$ trong $u = 2 t_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

Bước 10.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 10.3.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Bước 10.4

Thay giới hạn trên vào cho $t_{1}$ trong $u = 2 t_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Bước 10.5

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Bước 10.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Bước 10.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 11

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

Bước 13

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Bước 14

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính $t_{1}$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

Bước 14.2

Tính $\sin (u)$ tại $\frac{2 π}{3}$ và tại $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 14.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Để viết $\frac{π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 14.3.2

Để viết $- \frac{π}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 14.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.3.1

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 14.3.3.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 14.3.3.3

Nhân $\frac{π}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 14.3.3.4

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 14.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 14.3.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{1}{16} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 14.3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 14.3.7

Trừ $3 π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

Bước 15.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

Bước 16.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

Bước 16.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Bước 16.3

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Bước 16.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Bước 16.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

Bước 16.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

Bước 16.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Bước 16.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1

Nhân $\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1.1

Nhân $\frac{1}{16}$ với $\frac{π}{12}$ .

$\frac{π}{16 \cdot 12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Bước 16.7.1.2

Nhân $16$ với $12$ .

$\frac{π}{192} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Bước 16.7.2

Nhân $\frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.2.1

Nhân $\frac{1}{16}$ với $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Bước 16.7.2.2

Nhân $16$ với $4$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

Bước 16.7.3

Nhân $\frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.3.1

Nhân $\frac{1}{16}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{16 \cdot 2}$

Bước 16.7.3.2

Nhân $16$ với $2$ .

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

Bước 17

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

Dạng thập phân:

$0.01217575 \dots$

Bước 18