Giải tích Ví dụ

$\int 2 x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x^{3} e^{- x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (2 x)$

Bước 2.1.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại ${\sqrt{- u}}^{2}$ ở dạng $- u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{- u}$ ở dạng ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 \int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3.1.5

Rút gọn.

$2 \int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 \int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 3.4

Nhân $u$ với $1$ .

$2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 3.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u$ .

$2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{u}{2}$ và $e^{u}$ .

$2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int u e^{u} d u$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int u e^{u} d u$

Bước 5.3

Nhân $\int u e^{u} d u$ với $1$ .

$\int u e^{u} d u$

Bước 6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = e^{u}$ .

$u e^{u} - \int e^{u} d u$

Bước 7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$u e^{u} - (e^{u} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

$u e^{u} - e^{u} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x^{2}$ .

$- x^{2} e^{- x^{2}} - e^{- x^{2}} + C$