Giải tích Ví dụ

$\int_{- 4}^{3} (5 - x^{2}) - (x - 7) d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 4}^{3} 5 d x + \int_{- 4}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Bước 2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$5 x]_{- 4}^{3} + \int_{- 4}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 x]_{- 4}^{3} - \int_{- 4}^{3} x^{2} d x + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - (x - 7) d x$

Bước 6

Nhân $- (x - 7)$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - x - - 7 d x$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - x + 7 d x$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} - x d x + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - \int_{- 4}^{3} x d x + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Bước 11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3}) + \int_{- 4}^{3} 7 d x$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$5 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3}) + 7 x]_{- 4}^{3}$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Kết hợp $5 x]_{- 4}^{3}$ và $7 x]_{- 4}^{3}$ .

$5 x + 7 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Bước 13.1.2

Cộng $5 x$ và $7 x$ .

$12 x]_{- 4}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Bước 13.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Tính $12 x$ tại $3$ và tại $- 4$ .

$(12 \cdot 3) - 12 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Bước 13.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $3$ và tại $- 4$ .

$(12 \cdot 3) - 12 \cdot - 4 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{3})$

Bước 13.2.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $3$ và tại $- 4$ .

$(12 \cdot 3) - 12 \cdot - 4 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.1

Nhân $12$ với $3$ .

$36 - 12 \cdot - 4 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.2

Nhân $- 12$ với $- 4$ .

$36 + 48 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.3

Cộng $36$ và $48$ .

$84 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$84 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.5

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$84 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$84 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$84 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$84 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.5.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$84 - (9 - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.6

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$84 - (9 - \frac{- 64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$84 - (9 - - \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$84 - (9 + 1 (\frac{64}{3})) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.9

Nhân $\frac{64}{3}$ với $1$ .

$84 - (9 + \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.10

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$84 - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.11

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$84 - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$84 - \frac{9 \cdot 3 + 64}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.13.1

Nhân $9$ với $3$ .

$84 - \frac{27 + 64}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.13.2

Cộng $27$ và $64$ .

$84 - \frac{91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.14

Để viết $84$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$84 \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.15

Kết hợp $84$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{84 \cdot 3}{3} - \frac{91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{84 \cdot 3 - 91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.17

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.17.1

Nhân $84$ với $3$ .

$\frac{252 - 91}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.17.2

Trừ $91$ khỏi $252$ .

$\frac{161}{3} - ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.18

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 13.2.4.19

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{16}{2})$

Bước 13.2.4.20

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.20.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Bước 13.2.4.20.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.20.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Bước 13.2.4.20.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Bước 13.2.4.20.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - \frac{8}{1})$

Bước 13.2.4.20.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - 1 \cdot 8)$

Bước 13.2.4.21

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - 8)$

Bước 13.2.4.22

Để viết $- 8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})$

Bước 13.2.4.23

Kết hợp $- 8$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161}{3} - (\frac{9}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})$

Bước 13.2.4.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{161}{3} - \frac{9 - 8 \cdot 2}{2}$

Bước 13.2.4.25

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.25.1

Nhân $- 8$ với $2$ .

$\frac{161}{3} - \frac{9 - 16}{2}$

Bước 13.2.4.25.2

Trừ $16$ khỏi $9$ .

$\frac{161}{3} - \frac{- 7}{2}$

Bước 13.2.4.26

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{161}{3} - - \frac{7}{2}$

Bước 13.2.4.27

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{161}{3} + 1 (\frac{7}{2})$

Bước 13.2.4.28

Nhân $\frac{7}{2}$ với $1$ .

$\frac{161}{3} + \frac{7}{2}$

Bước 13.2.4.29

Để viết $\frac{161}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

Bước 13.2.4.30

Để viết $\frac{7}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{161}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 13.2.4.31

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.31.1

Nhân $\frac{161}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{161 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 13.2.4.31.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{161 \cdot 2}{6} + \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 13.2.4.31.3

Nhân $\frac{7}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{161 \cdot 2}{6} + \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Bước 13.2.4.31.4

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{161 \cdot 2}{6} + \frac{7 \cdot 3}{6}$

Bước 13.2.4.32

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{161 \cdot 2 + 7 \cdot 3}{6}$

Bước 13.2.4.33

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.33.1

Nhân $161$ với $2$ .

$\frac{322 + 7 \cdot 3}{6}$

Bước 13.2.4.33.2

Nhân $7$ với $3$ .

$\frac{322 + 21}{6}$

Bước 13.2.4.33.3

Cộng $322$ và $21$ .

$\frac{343}{6}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{343}{6}$

Dạng thập phân:

$57.1\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$57 \frac{1}{6}$

Bước 15