Giải tích Ví dụ

$\int 30 t^{5} e^{- t^{6}} d t$

Bước 1

Vì $30$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $30$ ra khỏi tích phân.

$30 \int t^{5} e^{- t^{6}} d t$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = t^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 t d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = t^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 t$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$30 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ ở dạng ${u_{1}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$30 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$30 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ ở dạng ${u_{1}}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$30 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{1}}^{2}$ .

$30 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ và $e^{- {u_{1}}^{3}}$ .

$30 \int \frac{{u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$30 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $30$ .

$\frac{30}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $30$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{15}{1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 5.2.2.4

Chia $15$ cho $1$ .

$15 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Sau đó $d u_{2} = - 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , nên $- \frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $- {u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{3}]$

Bước 6.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $- {u_{1}}^{3}$ đối với $u_{1}$ là $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2})$

Bước 6.1.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 {u_{1}}^{2}$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$15 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$15 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Bước 7.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$15 \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$15 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Bước 9

Nhân $- 1$ với $15$ .

$- 15 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Bước 10

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- 15 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 15$ .

$\frac{- 15}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 15$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 15$ .

$\frac{3 \cdot - 5}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 11.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot - 5}{3 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 11.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot - 5}{3 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 11.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 5}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 11.2.2.4

Chia $- 5$ cho $1$ .

$- 5 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 12

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$- 5 (e^{u_{2}} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

$- 5 e^{u_{2}} + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- {u_{1}}^{3}$ .

$- 5 e^{- {u_{1}}^{3}} + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $t^{2}$ .

$- 5 e^{- {(t^{2})}^{3}} + C$