Giải tích Ví dụ

$\int_{36}^{49} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Bước 1

Viết lại $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ ở dạng một tích.

$\int_{36}^{49} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (y)$ và $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

Bước 3.2

Kết hợp $y^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

Bước 3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

Bước 3.4

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Bước 3.5

Nhân $y$ với $y^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $y$ với $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Bước 3.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

Bước 3.5.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Bước 3.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

Bước 3.5.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - \int_{36}^{49} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - (2 \int_{36}^{49} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - 2 \int_{36}^{49} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Bước 5.2

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - 2 \int_{36}^{49} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Bước 5.3

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - 2 \int_{36}^{49} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Bước 5.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - 2 \int_{36}^{49} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Bước 5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - 2 \int_{36}^{49} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- \frac{1}{2}}$ đối với $y$ là $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{49} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{36}^{49})$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ tại $49$ và tại $36$ .

$(\ln (49) (2 \cdot 49^{\frac{1}{2}})) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{36}^{49})$

Bước 7.2

Tính $2 y^{\frac{1}{2}}$ tại $49$ và tại $36$ .

$(\ln (49) (2 \cdot 49^{\frac{1}{2}})) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$\ln (49) (2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (49) (2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (49) (2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (49) (2 \cdot 7^{1}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.4

Tính số mũ.

$\ln (49) (2 \cdot 7) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.5

Nhân $2$ với $7$ .

$\ln (49) \cdot 14 - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.6

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $\ln (49)$ .

$14 \cdot \ln (49) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.7

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$14 \ln (49) - \ln (36) (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 \ln (49) - \ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$14 \ln (49) - \ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.9.2

Viết lại biểu thức.

$14 \ln (49) - \ln (36) (2 \cdot 6^{1}) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.10

Tính số mũ.

$14 \ln (49) - \ln (36) (2 \cdot 6) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.11

Nhân $2$ với $6$ .

$14 \ln (49) - \ln (36) \cdot 12 - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.12

Nhân $12$ với $- 1$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 ((2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.13

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.14

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.15

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.15.2

Viết lại biểu thức.

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 7^{1} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.16

Tính số mũ.

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 7 - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.17

Nhân $2$ với $7$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.18

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.3.19

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})})$

Bước 7.3.20

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.20.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})})$

Bước 7.3.20.2

Viết lại biểu thức.

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 2 \cdot 6^{1})$

Bước 7.3.21

Tính số mũ.

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 2 \cdot 6)$

Bước 7.3.22

Nhân $- 2$ với $6$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 (14 - 12)$

Bước 7.3.23

Trừ $12$ khỏi $14$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 2 \cdot 2$

Bước 7.3.24

Nhân $- 2$ với $2$ .

$14 \ln (49) - 12 \ln (36) - 4$

Bước 8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $\ln (49)$ ở dạng $\ln (7^{2})$ .

$14 \ln (7^{2}) - 12 \ln (36) - 4$

Bước 8.2

Khai triển $\ln (7^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$14 (2 \ln (7)) - 12 \ln (36) - 4$

Bước 8.3

Nhân $2$ với $14$ .

$28 \ln (7) - 12 \ln (36) - 4$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$28 \ln (7) - 12 \ln (36) - 4$

Dạng thập phân:

$7.48325691 \dots$