Giải tích Ví dụ

$\int 3 x e^{0.5 x^{2}} d x$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int x e^{0.5 x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = e^{0.5 x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = x e^{0.5 x^{2}} d x$ , nên $\frac{1}{x e^{0.5 x^{2}}} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{0.5 x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $e^{0.5 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{0.5 x^{2}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 0.5 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $0.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $0.5 x^{2}$ .

$e^{0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $0.5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $0.5 x^{2}$ đối với $x$ là $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{0.5 x^{2}} (0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{0.5 x^{2}} (0.5 (2 x))$

Bước 2.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1

Nhân $2$ với $0.5$ .

$e^{0.5 x^{2}} (1 x)$

Bước 2.1.3.3.2

Nhân $x$ với $1$ .

$e^{0.5 x^{2}} x$

Bước 2.1.3.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{0.5 x^{2}} x$ .

$x e^{0.5 x^{2}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$3 \int d u_{2}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (u_{2} + C)$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn.

$3 u_{2} + C$

Bước 4.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{0.5 x^{2}}$ .

$3 e^{0.5 x^{2}} + C$