Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{1}{8}} \frac{\arcsin (4 x)}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ , nên $- d u_{2} = \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \arcsin (4 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\arcsin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arcsin (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\arcsin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.3.2.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.3.2.3

Nhân $16$ với $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.3.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.4

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

Bước 1.1.3.6

Nhân $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ với $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{lower} = \arcsin (4 \cdot 0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $4$ với $0$ .

$u_{lower} = \arcsin (0)$

Bước 1.3.2

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = \arcsin (4 x)$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 (\frac{1}{8}))$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 (2)})$

Bước 1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 \cdot 2})$

Bước 1.5.1.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 1.5.2

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{4} u_{2} d u_{2}$

Bước 2

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{6}} u_{2} d u_{2}$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ tại $\frac{π}{6}$ và tại $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Bước 4.2.2

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Bước 4.2.3

Nhân $0$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0)$

Bước 4.2.4

Cộng $\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2})$

Bước 4.2.5

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Bước 4.2.6

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{π}{6})}^{2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}}$

Bước 5.2

Kết hợp.

$\frac{1 π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Bước 5.3

Nhân $π^{2}$ với $1$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

Bước 5.4

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 36}$

Bước 5.5

Nhân $8$ với $36$ .

$\frac{π^{2}}{288}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π^{2}}{288}$

Dạng thập phân:

$0.03426945 \dots$