Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos (π x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = π x$ . Sau đó $d u = π d x$ , nên $\frac{1}{π} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = π x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Bước 1.1.2

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $π$ với $1$ .

$π$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $π$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

Bước 1.5

Kết hợp $π$ và $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Bước 2

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{π} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{π}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{π}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Bước 5

Tính $\sin (u)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $0$ .

$\frac{1}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{1}{π} (1 - \sin (0))$

Bước 6.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{π} (1 - 0)$

Bước 6.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{π} (1 + 0)$

Bước 6.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot 1$

Bước 6.5

Nhân $\frac{1}{π}$ với $1$ .

$\frac{1}{π}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{π}$

Dạng thập phân:

$0.31830988 \dots$