Giải tích Ví dụ

$\int y^{2} {(1 + y)}^{2} d y$

Bước 1

Khai triển $y^{2} {(1 + y)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(1 + y)}^{2}$ ở dạng $(1 + y) (1 + y)$ .

$\int y^{2} ((1 + y) (1 + y)) d y$

Bước 1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int y^{2} (1 (1 + y) + y (1 + y)) d y$

Bước 1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y)) d y$

Bước 1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Bước 1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int y^{2} (1 \cdot 1 + 1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Bước 1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1 + y \cdot y) d y$

Bước 1.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int y^{2} (1 \cdot 1) + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Bước 1.8

Di chuyển $y^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + y^{2} (1 y) + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Bước 1.9

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (y \cdot 1) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Bước 1.10

Sắp xếp lại $y$ và $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + y^{2} (1 \cdot y) + y^{2} (y \cdot y) d y$

Bước 1.11

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $1$ .

$\int 1 \cdot 1 y^{2} + 1 \cdot y^{2} y + 1 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2} (y \cdot y) d y$

Bước 1.12

Nhân $1$ với $1$ .

$\int 1 y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Bước 1.13

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$\int y^{2} + 1 y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Bước 1.14

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Bước 1.15

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int y^{2} + y^{2} y^{1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Bước 1.16

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y^{2} + y^{2 + 1} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Bước 1.17

Cộng $2$ và $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + 1 y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Bước 1.18

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y + y^{2} y \cdot y d y$

Bước 1.19

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2} y^{1} + y^{2} y \cdot y d y$

Bước 1.20

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{2 + 1} + y^{2} y \cdot y d y$

Bước 1.21

Cộng $2$ và $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y \cdot y d y$

Bước 1.22

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2} y^{1} y d y$

Bước 1.23

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{2 + 1} y d y$

Bước 1.24

Cộng $2$ và $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y d y$

Bước 1.25

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3} y^{1} d y$

Bước 1.26

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{3 + 1} d y$

Bước 1.27

Cộng $3$ và $1$ .

$\int y^{2} + y^{3} + y^{3} + y^{4} d y$

Bước 1.28

Cộng $y^{3}$ và $y^{3}$ .

$\int y^{2} + 2 y^{3} + y^{4} d y$

Bước 1.29

Sắp xếp lại $2 y^{3}$ và $y^{4}$ .

$\int y^{2} + y^{4} + 2 y^{3} d y$

Bước 1.30

Di chuyển $y^{2}$ .

$\int y^{4} + 2 y^{3} + y^{2} d y$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y^{4} d y + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{4}$ đối với $y$ là $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 2 y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 \int y^{3} d y + \int y^{2} d y$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int y^{2} d y$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 2 (\frac{y^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} + C$