Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{2}$

Bước 1.3

Chia $0$ cho $2$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u_{upper} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.5.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 1.5.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Bước 2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sec^{2} (u) d u$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

Bước 4

Vì đạo hàm của $\tan (u)$ là $\sec^{2} (u)$ , tích phân của $\sec^{2} (u)$ là $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Bước 5

Tính $\tan (u)$ tại $\frac{π}{4}$ và tại $0$ .

$2 (\tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$2 (1 - \tan (0))$

Bước 6.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$2 (1 - 0)$

Bước 6.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (1 + 0)$

Bước 6.4

Cộng $1$ và $0$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.5

Nhân $2$ với $1$ .

$2$