Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

Bước 1

Giả sử $u = 4 + r^{2}$ . Sau đó $d u = 2 r d r$ , nên $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 + r^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d r}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + r^{2}$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 1.1.3

Vì $4$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $4$ đối với $r$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $2 r$ .

$2 r$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $r$ trong $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $4$ và $0$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $r$ trong $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

Bước 1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Bước 1.5.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

Bước 5

Tính $\ln (| u |)$ tại $4 + \frac{π^{2}}{4}$ và tại $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ xấp xỉ $6.4674011$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Bước 7.1.2

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Bước 7.1.3

Kết hợp $4$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Bước 7.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Bước 7.1.5

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

Bước 7.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $4$ là $4$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

Bước 7.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

Bước 7.4

Nhân $\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $\frac{16 + π^{2}}{4}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

Bước 7.4.2

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

Dạng thập phân:

$0.24023999 \dots$

Bước 9