Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- \cos (x)} \sin (x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = - \cos (x)$ . Sau đó $d u = \sin (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = - \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $- \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 1.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- - \sin (x)$

Bước 1.1.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \sin (x)$

Bước 1.1.4.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\sin (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - \cos (x)$ .

$u_{lower} = - \cos (0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Bước 1.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - \cos (x)$ .

$u_{upper} = - \cos (\frac{π}{2})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{upper} = - 0$

Bước 1.5.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 1}^{0} e^{u} d u$

Bước 2

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{u}]_{- 1}^{0}$

Bước 3

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $e^{u}$ tại $0$ và tại $- 1$ .

$(e^{0}) - e^{- 1}$

Bước 3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Bước 4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$1 - \frac{1}{e}$

Dạng thập phân:

$0.63212055 \dots$