Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

Bước 1

Giả sử $u = \sin (t)$ . Sau đó $d u = \cos (t) d t$ , nên $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \sin (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (t)$ đối với $t$ là $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = \sin (t)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = \sin (t)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

Bước 2

Giả sử $u = \tan (t_{1})$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec^{2} (t_{1})$ dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 3.1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 3.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (t_{1})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $\sec (t_{1})$ ra ngoài $\sec^{2} (t_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Bước 4

Tích phân của $\sec (t_{1})$ đối với $t_{1}$ là $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Bước 5

Tính $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ tại $\frac{π}{4}$ và tại $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Bước 6.2

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Bước 6.3

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Bước 6.4

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Bước 6.5

Cộng $1$ và $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 6.6

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.2.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.2.6.5

Tính số mũ.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.1.3.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Bước 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ xấp xỉ $2.41421356$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Bước 7.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Bước 7.3

Chia $\sqrt{2} + 1$ cho $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Dạng thập phân:

$0.88137358 \dots$