Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos (2 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x)$

Bước 4

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 4.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 4.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 4.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 4.5.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 5

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Bước 8

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $0$ .

$(\frac{\frac{π}{2} \sin (2 \frac{π}{2})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Bước 9.2

Tính $- \cos (u)$ tại $π$ và tại $0$ .

$(\frac{\frac{π}{2} \sin (2 \frac{π}{2})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{π}{2} \sin (\frac{2 π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{π}{2} \sin (\frac{2 π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.2.2

Chia $π$ cho $1$ .

$\frac{\frac{π}{2} \sin (π)}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.3

Kết hợp $\frac{π}{2}$ và $\sin (π)$ .

$\frac{\frac{π \sin (π)}{2}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.4

Viết lại $\frac{\frac{π \sin (π)}{2}}{2}$ ở dạng một tích.

$\frac{π \sin (π)}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.5

Nhân $\frac{π \sin (π)}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π \sin (π)}{2 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.6

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.7

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.8

Nhân $0$ với $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.9.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.10

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.11

Cộng $\frac{π \sin (π)}{4}$ và $0$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{1}{4} ((- \cos (π)) + \cos (0))$

Bước 9.3.12

Để viết $- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} - \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot \frac{4}{4}$

Bước 9.3.13

Kết hợp $- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \sin (π)}{4} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 4}{4}$

Bước 9.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{4} (- \cos (π) + \cos (0)) \cdot 4}{4}$

Bước 9.3.15

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{π \sin (π) - 4 (\frac{1}{4}) (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Bước 9.3.16

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{- 4}{4} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Bước 9.3.17

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.17.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Bước 9.3.17.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.17.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Bước 9.3.17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π \sin (π) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Bước 9.3.17.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{π \sin (π) + \frac{- 1}{1} (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Bước 9.3.17.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0))}{4}$

Bước 10

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{π \sin (π) - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{π \sin (0) - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Bước 11.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Bước 11.3

Nhân $π$ với $0$ .

$\frac{0 - (- \cos (π) + 1)}{4}$

Bước 11.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{0 - (- - \cos (0) + 1)}{4}$

Bước 11.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{4}$

Bước 11.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{0 - (- - 1 + 1)}{4}$

Bước 11.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{0 - (1 + 1)}{4}$

Bước 11.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 2}{4}$

Bước 11.9

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{0 - 2}{4}$

Bước 11.10

Rút gọn biểu thức $\frac{0 - 2}{4}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{2 (0) - 2}{4}$

Bước 11.10.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{4}$

Bước 11.10.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{4}$

Bước 11.10.4

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (2)}$

Bước 11.10.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 2}$

Bước 11.10.6

Viết lại biểu thức.

$\frac{0 - 1}{2}$

Bước 11.11

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Bước 11.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$- 0.5$