Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x^{2}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Bước 1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = {(\frac{π}{2})}^{2}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{2^{2}}$

Bước 1.5.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π^{2}}{4}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π^{2}}{4}}$

Bước 5

Tính $- \cos (u)$ tại $\frac{π^{2}}{4}$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + \cos (0))$

Bước 6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π^{2}}{4}) + 1)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\cos (\frac{π^{2}}{4})$ .

$\frac{1}{2} (- - 0.78121189 + 1)$

Bước 7.2

Nhân $- 1$ với $- 0.78121189$ .

$\frac{1}{2} (0.78121189 + 1)$

Bước 7.3

Cộng $0.78121189$ và $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1.78121189$

Bước 7.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $1.78121189$ .

$\frac{1.78121189}{2}$

Bước 7.5

Chia $1.78121189$ cho $2$ .

$0.89060594$