Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) \cos (x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} u d u$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1}$

Bước 3

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $\frac{1}{2} u^{2}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Bước 3.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Bước 3.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Bước 3.2.4

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Bước 3.2.5

Nhân $0$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Bước 3.2.6

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$