Giải tích Ví dụ

$\int x^{3} \sin (x^{2}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u$ .

$\int \frac{u}{2} \sin (u) d u$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{u}{2}$ và $\sin (u)$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int u \sin (u) d u$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Bước 6.2

Nhân $\int \cos (u) d u$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Bước 7

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Bước 8

Viết lại $\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})) + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2})) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Bước 10.2

Nhân $\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Bước 10.2.2

Kết hợp $\cos (x^{2})$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

Bước 10.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (x^{2})$ .

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

Bước 10.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (x^{2})}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$