Giải tích Ví dụ

$\int x^{4} e^{- x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{4}$ và $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 x^{3}) d x$

Bước 2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) - \int - 4 e^{- x} x^{3} d x$

Bước 3

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$x^{4} (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} x^{3} d x)$

Bước 4

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} x^{3} d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{3}$ và $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (3 x^{2}) d x)$

Bước 6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - \int - 3 e^{- x} x^{2} d x)$

Bước 7

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - (- 3 \int e^{- x} x^{2} d x))$

Bước 8

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 \int e^{- x} x^{2} d x)$

Bước 9

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x))$

Bước 10

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x))$

Bước 11

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)))$

Bước 12

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x))$

Bước 13

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)))$

Bước 14

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)))$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)))$

Bước 15.2

Nhân $\int e^{- x} d x$ với $1$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)))$

Bước 16

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 16.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 16.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 16.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 16.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)))$

Bước 17

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)))$

Bước 18

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))))$

Bước 19

Viết lại $x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))))$ ở dạng $- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}))) + C$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}))) + C$

Bước 20

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}))) + C$