Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{3 - 2 x - x^{2}} d x$

Bước 1

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Di chuyển $3$ .

$- 2 x - x^{2} + 3$

Bước 1.1.2

Sắp xếp lại $- 2 x$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} - 2 x + 3$

Bước 1.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = 3$

Bước 1.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.4.2.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

Bước 1.4.2.2

Viết lại $- 1 \cdot - 1$ ở dạng $- - 1$ .

$d = - - 1$

Bước 1.4.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$d = 1$

Bước 1.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 3 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.5.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 3 - \frac{4}{- 4}$

Bước 1.5.2.1.3

Chia $4$ cho $- 4$ .

$e = 3 - - 1$

Bước 1.5.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e = 3 + 1$

Bước 1.5.2.2

Cộng $3$ và $1$ .

$e = 4$

Bước 1.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x + 1)}^{2} + 4$ .

$\int \sqrt{- {(x + 1)}^{2} + 4} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = x + 1$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 4} d u_{1}$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = 2 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \cos (t)$ dương.

$\int \sqrt{- {(2 \sin (t))}^{2} + 4} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn $\sqrt{- {(2 \sin (t))}^{2} + 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{- (2^{2} \sin^{2} (t)) + 4} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \sqrt{- (4 \sin^{2} (t)) + 4} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.1.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int \sqrt{- 4 \sin^{2} (t) + 4} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.2

Sắp xếp lại $- 4 \sin^{2} (t)$ và $4$ .

$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\int \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.7

Viết lại $4 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int 4 \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 4.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Bước 4.2.3

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Bước 4.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 4.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 4 \cos^{2} (t) d t$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \cos^{2} (t) d t$

Bước 6

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 8.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Bước 11

Giả sử $u_{2} = 2 t$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 t$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 11.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 11.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 12

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 14

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$2 (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Bước 15

Rút gọn.

$2 (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{u_{1}}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{u_{1}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 t$ .

$2 (\arcsin (\frac{u_{1}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 16.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + 1$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 16.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{u_{1}}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{2}))) + C$

Bước 16.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + 1$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))) + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))$ .

$2 (\arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2}) + C$

Bước 17.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + 2 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2} + C$

Bước 17.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + 2 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}))}{2} + C$

Bước 17.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 \arcsin (\frac{x + 1}{2}) + \sin (2 \arcsin (\frac{x + 1}{2})) + C$

Bước 18

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \arcsin (\frac{1}{2} (x + 1)) + \sin (2 \arcsin (\frac{1}{2} (x + 1))) + C$