Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x}{{(1 - 2 x^{2})}^{3}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 - 2 x^{2}$ . Sau đó $d u = - 4 x d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 - 2 x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{2}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$0 - 4 x$

Bước 1.1.4

Trừ $4 x$ khỏi $0$ .

$- 4 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{4}) d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Bước 2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$\int - \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $u^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int u^{- 3} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 3}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Bước 7.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Bước 7.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Bước 7.2.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Bước 7.2.5

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{1}{4 (2 u^{2})} + C$

Bước 7.2.6

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{8 u^{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{8 {(1 - 2 x^{2})}^{2}} + C$