Giải tích Ví dụ

$\int x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int \sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \sin^{2} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Bước 2.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Bước 2.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \sin^{2} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 2.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sin^{2} (t) \cos^{2} (t) d t$

Bước 3

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \sin^{2} (t) \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ với $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{2 \cdot 2} d t$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{4} d t$

Bước 6

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Bước 7

Giả sử $u_{1} = 2 t$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 t$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Bước 9

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Bước 9.1.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Bước 9.2

Khai triển $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{8} \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Bước 9.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Bước 9.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2.4

Di chuyển $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2.5

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2.6

Nhân $\cos (u_{1})$ với $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2.8

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Bước 9.2.9

Nâng $\cos (u_{1})$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Bước 9.2.10

Nâng $\cos (u_{1})$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Bước 9.2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Bước 9.2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2.13

Trừ $\cos (u_{1})$ khỏi $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2.14

Trừ $\cos^{2} (u_{1})$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Bước 13

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 14

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Bước 15

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Bước 16

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Bước 17

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 17.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 17.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 17.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 17.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Bước 18

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Bước 19

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Bước 20

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

Bước 21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Rút gọn.

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Bước 21.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1

Để viết $u_{1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Bước 21.2.2

Kết hợp $u_{1}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Bước 21.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Bước 21.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Bước 21.2.5

Trừ $u_{1}$ khỏi $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Bước 22

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 t$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 t}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Bước 22.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 t}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

Bước 22.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

Bước 22.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 t$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 t))}{4}) + C$

Bước 22.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

Bước 23

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

Bước 23.1.1.2

Chia $\arcsin (x)$ cho $1$ .

$\frac{1}{8} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

Bước 23.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{8} (\arcsin (x) - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

Bước 23.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{8} \arcsin (x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

Bước 23.3

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{8} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

Bước 23.4

Nhân $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.4.1

Nhân $\frac{1}{8}$ với $\frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{8} - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{8 \cdot 4} + C$

Bước 23.4.2

Nhân $8$ với $4$ .

$\frac{\arcsin (x)}{8} - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{32} + C$

Bước 24

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{8} \arcsin (x) - \frac{1}{32} \sin (4 \arcsin (x)) + C$