Giải tích Ví dụ

$\int x^{2} \cos (2 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = \cos (2 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2} \cdot 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2} \cdot 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \sin (2 x) (x) d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x)$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x)$

Bước 4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (1 \int \sin (2 x) (x) d x)$

Bước 4.3

Nhân $\int \sin (2 x) (x) d x$ với $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) (x) d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Bước 6.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Bước 6.3

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Bước 8.2

Nhân $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ với $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Bước 10

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 11

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Bước 13.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Bước 14

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Viết lại $\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ ở dạng $\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Bước 15.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Bước 15.2.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Bước 15.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Bước 15.2.4

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Bước 15.2.5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Bước 15.2.6

Để viết $- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 15.2.7

Kết hợp $- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 15.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 15.2.9

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Bước 16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2}) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 17.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\cos (2 x) x}{2}$ vào tử số.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 17.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 2 (- 1) \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 17.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 17.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - (- \cos (2 x) x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 17.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 1 (\cos (2 x) x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 17.4

Nhân $\cos (2 x)$ với $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 17.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 (- 1) \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Bước 17.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Bước 17.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Bước 17.5.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Bước 17.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cos (2 x) x - \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + x \cos (2 x) - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Để viết $x^{2} \sin (2 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cos (2 x) + x^{2} \sin (2 x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Bước 18.1.2

Kết hợp $x^{2} \sin (2 x)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cos (2 x) + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Bước 18.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x \cos (2 x) + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Bước 18.1.4

Để viết $x \cos (2 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cos (2 x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Bước 18.1.5

Kết hợp $x \cos (2 x)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x \cos (2 x) \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Bước 18.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Bước 18.1.7

Viết lại $\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.7.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x \cos (2 x)$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (x \cos (2 x)) + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Bước 18.1.7.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} \sin (2 x)$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

Bước 18.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2} \cdot \frac{1}{2} + C$

Bước 18.3

Nhân $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Nhân $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 18.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{4} + C$

Bước 18.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{4} (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) + C$