Giải tích Ví dụ

$\int x^{2} e^{11 x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{11 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{11} e^{11 x}) - \int \frac{1}{11} e^{11 x} (2 x) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{11}$ và $e^{11 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} (2 x) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{e^{11 x}}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} (2 x) d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{11} \cdot 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{11} \cdot 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - (\frac{1}{11} \cdot 2 \int e^{11 x} (x) d x)$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{11}$ và $2$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} \int e^{11 x} (x) d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (x (\frac{1}{11} e^{11 x}) - \int \frac{1}{11} e^{11 x} d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{11}$ và $e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (x \frac{e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} d x)$

Bước 6.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{11 x}}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} d x)$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{1}{11}$ và $e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \int \frac{e^{11 x}}{11} d x)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{11}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{11}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - (\frac{1}{11} \int e^{11 x} d x))$

Bước 8

Giả sử $u = 11 x$ . Sau đó $d u = 11 d x$ , nên $\frac{1}{11} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = 11 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

Bước 8.1.2

Vì $11$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $11 x$ đối với $x$ là $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $11$ với $1$ .

$11$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11} \int e^{u} \frac{1}{11} d u)$

Bước 9

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11} \int \frac{e^{u}}{11} d u)$

Bước 10

Vì $\frac{1}{11}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{11}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11} (\frac{1}{11} \int e^{u} d u))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{1}{11}$ với $\frac{1}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11 \cdot 11} \int e^{u} d u)$

Bước 11.2

Nhân $11$ với $11$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} \int e^{u} d u)$

Bước 12

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} (e^{u} + C))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Viết lại $\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} (e^{u} + C))$ ở dạng $\frac{1}{11} x^{2} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{11} x^{2} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Bước 13.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Kết hợp $\frac{1}{11}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{11} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Bước 13.2.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{11}$ và $e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Bước 13.2.3

Kết hợp $\frac{1}{11}$ và $x$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x}{11} e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Bước 13.2.4

Kết hợp $\frac{x}{11}$ và $e^{11 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

Bước 13.2.5

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{121}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) + C$

Bước 13.2.6

Để viết $- \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{11}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) \cdot \frac{11}{11} + C$

Bước 13.2.7

Kết hợp $- \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})$ và $\frac{11}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} + \frac{- \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) \cdot 11}{11} + C$

Bước 13.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) \cdot 11}{11} + C$

Bước 13.2.9

Nhân $11$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} - 11 (\frac{2}{11}) (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Bước 13.2.10

Kết hợp $- 11$ và $\frac{2}{11}$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{- 11 \cdot 2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Bước 13.2.11

Nhân $- 11$ với $2$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{- 22}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Bước 13.2.12

Triệt tiêu thừa số chung của $- 22$ và $11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.12.1

Đưa $11$ ra ngoài $- 22$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{11 \cdot - 2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Bước 13.2.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.12.2.1

Đưa $11$ ra ngoài $11$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{11 \cdot - 2}{11 (1)} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Bước 13.2.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{11 \cdot - 2}{11 \cdot 1} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Bước 13.2.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Bước 13.2.12.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} - 2 (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $11 x$ .

$\frac{x^{2} e^{11 x} - 2 (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{11 x}}{121})}{11} + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{11} (x^{2} e^{11 x} - 2 (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{11 x})) + C$