Giải tích Ví dụ

$\int e^{3 x} + 5 e^{- x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int e^{3 x} d x + \int 5 e^{- x} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 3 x$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int 5 e^{- x} d x$

Bước 3

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int 5 e^{- x} d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- x} d x$

Bước 5

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 e^{- x} d x$

Bước 6

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{- x} d x$

Bước 7

Giả sử $u_{2} = - x$ . Sau đó $d u_{2} = - d x$ , nên $- d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{2} = - x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 7.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 5 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 9

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 5 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 5 (e^{u_{2}} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{1}{3} e^{u_{1}} - 5 e^{u_{2}} + C$

Bước 12

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} - 5 e^{u_{2}} + C$

Bước 12.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} - 5 e^{- x} + C$