Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 \cot (\frac{x}{3}) d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cot (\frac{x}{3}) d x$

Bước 2

Giả sử $u = \frac{x}{3}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{3} d x$ , nên $3 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2.1.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u_{lower} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Bước 2.3.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) (1 \cdot 3) d u$

Bước 3.2

Nhân $3$ với $1$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \cdot 3 d u$

Bước 3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cot (u)$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \cot (u) d u$

Bước 4

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$2 (3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u)$

Bước 5

Nhân $3$ với $2$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u$

Bước 6

Tích phân của $\cot (u)$ đối với $u$ là $\ln (| \sin (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sin (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Bước 7

Tính $\ln (| \sin (u) |)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $\frac{π}{6}$ .

$6 (\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Bước 8.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{1}{2} |))$

Bước 8.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{1}{2} |})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ xấp xỉ $0.8660254$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{1}{2} |})$

Bước 9.2

$\frac{1}{2}$ xấp xỉ $0.5$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

Bước 9.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Bước 9.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Bước 9.4.2

Viết lại biểu thức.

$6 \ln (\sqrt{3})$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$6 \ln (\sqrt{3})$

Dạng thập phân:

$3.29583686 \dots$