Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 4 \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{3} (x) \sin (x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

Bước 2.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{upper} = \cos (0)$

Bước 2.5.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{3} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u)$

Bước 4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{3} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $u^{4}$ .

$- 4 (\frac{u^{4}}{4}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{u^{4}}{4}$ tại $1$ và tại $\frac{1}{2}$ .

$- 4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

Bước 7.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 4 (\frac{1}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4})$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$

Bước 8.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1^{4}}{2^{4}}}{4}$

Bước 8.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{2^{4}}}{4}$

Bước 8.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$- 4 \frac{1 - \frac{1}{16}}{4}$

Bước 8.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- 4 \frac{\frac{16}{16} - \frac{1}{16}}{4}$

Bước 8.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 4 \frac{\frac{16 - 1}{16}}{4}$

Bước 8.5

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$- 4 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Bước 8.6

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Bước 8.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot - 1 \frac{\frac{15}{16}}{4}$

Bước 8.6.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{15}{16}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{15}{16}$

Dạng thập phân:

$- 0.9375$