Giải tích Ví dụ

$\int e^{- x} \sin (4 x) d x$

Bước 1

Sắp xếp lại $e^{- x}$ và $\sin (4 x)$ .

$\int \sin (4 x) e^{- x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (4 x)$ và $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 \cos (4 x)) d x$

Bước 3

Vì $- 1 \cdot 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1 \cdot 4$ ra khỏi tích phân.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Bước 4.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x$

Bước 4.3

Sắp xếp lại $e^{- x}$ và $\cos (4 x)$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int \cos (4 x) e^{- x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (4 x)$ và $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

Bước 6

Vì $- - 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- - 4$ ra khỏi tích phân.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (- - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Bước 7

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Bước 7.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Bước 7.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Bước 7.4.2

Nhân $- 4$ với $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) - 16 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x$

Bước 8

Khi giải tìm $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17}$ .

$\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17} + C$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ ở dạng $\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ .

$\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1.1

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $- \sin (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Bước 9.2.1.1.2

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $- 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Bước 9.2.1.1.3

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Bước 9.2.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Bước 9.2.1.2.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 \cos (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x)))}{17} + C$

Bước 9.2.1.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)))}{17} + C$

$\frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Bước 9.2.1.3

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\frac{- e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Bước 9.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{17} e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)) + C$