Giải tích Ví dụ

$\int \cot^{2} (7 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = 7 x$ . Sau đó $d u = 7 d x$ , nên $\frac{1}{7} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 7 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 1.1.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $7$ với $1$ .

$7$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \cot^{2} (u) \frac{1}{7} d u$

Bước 2

Kết hợp $\cot^{2} (u)$ và $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{\cot^{2} (u)}{7} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{7} \int \cot^{2} (u) d u$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cot^{2} (u)$ ở dạng $- 1 + \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{7} \int - 1 + \csc^{2} (u) d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{7} (\int - 1 d u + \int \csc^{2} (u) d u)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{7} (- u + C + \int \csc^{2} (u) d u)$

Bước 7

Vì đạo hàm của $- \cot (u)$ là $\csc^{2} (u)$ , tích phân của $\csc^{2} (u)$ là $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{7} (- u + C - \cot (u) + C)$

Bước 8

Rút gọn.

$\frac{1}{7} (- u - \cot (u)) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x$ .

$\frac{1}{7} (- (7 x) - \cot (7 x)) + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\frac{1}{7} (- 7 x - \cot (7 x)) + C$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{7} (- 7 x) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Bước 10.3

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Đưa $7$ ra ngoài $- 7 x$ .

$\frac{1}{7} (7 (- x)) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{7} (7 (- x)) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Bước 10.3.3

Viết lại biểu thức.

$- x + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Bước 10.4

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $\cot (7 x)$ .

$- x - \frac{\cot (7 x)}{7} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x - \frac{1}{7} \cot (7 x) + C$