Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

Bước 1

Giả sử $x = 3 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 3 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $3 \cos (t)$ dương.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Bước 2.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Bước 2.1.1.3

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Bước 2.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Bước 2.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Bước 2.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Bước 2.1.6

Viết lại $9 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $3 \cos (t)$ ra ngoài ${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

Bước 2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

Bước 2.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

Bước 2.2.2.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ sang $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

Bước 4.2

Kết hợp $d$ và $\frac{1}{9}$ .

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

Bước 4.3

Kết hợp $x$ và $\frac{d}{9}$ .

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

Bước 5

Vì đạo hàm của $- \cot (t)$ là $\csc^{2} (t)$ , tích phân của $\csc^{2} (t)$ là $- \cot (t)$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ ở dạng $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ .

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $x$ .

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

Bước 6.2.2

Kết hợp $\frac{x}{9}$ và $d$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

Bước 6.2.3

Kết hợp $\frac{x d}{9}$ và $\cot (t)$ .

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arcsin (\frac{x}{3})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Do đó, $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ là $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

Bước 8.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \frac{x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.9

Nhân $\frac{3 + x}{3}$ với $\frac{3 - x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.10

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.11

Viết lại $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ ở dạng ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.11.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $(3 + x) (3 - x)$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.11.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $3^{2}$ ra ngoài $9$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.11.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.12

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.13

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.14

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.14.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Bước 8.14.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

Bước 8.15

Kết hợp $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ và $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Bước 8.16

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.16.1

Kết hợp $x$ và $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Bước 8.16.2

Kết hợp $d$ và $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

Bước 8.17

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Bước 8.18

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.18.1

Rút gọn biểu thức $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.18.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Bước 8.18.1.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

Bước 8.18.2

Chia $d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ cho $1$ .

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$