Giải tích Ví dụ

$\int \tan^{3} (4 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 4 x$ . Sau đó $d u_{1} = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Bước 2

Kết hợp $\tan^{3} (u_{1})$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4

Đưa $\tan^{2} (u_{1})$ ra ngoài.

$\frac{1}{4} \int \tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (u_{1})$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int (- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} \int - 1 \tan (u_{1}) + \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{4} (\int - 1 \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (- \int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Bước 9

Tích phân của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Bước 10

Giả sử $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ , nên $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $\sec (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

Bước 10.1.2

Đạo hàm của $\sec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int u_{2} d u_{2})$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (u_{1}) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Bước 13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Bước 13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (u_{1})) + C$

Bước 13.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (4 x)) + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{\sec^{2} (4 x)}{2}) + C$

Bước 14.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |)) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sec^{2} (4 x)}{2} + C$

Bước 14.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\ln (| \sec (4 x) |)$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sec^{2} (4 x)}{2} + C$

Bước 14.4

Kết hợp.

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{1 \sec^{2} (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Bước 14.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Nhân $\sec^{2} (4 x)$ với $1$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{\sec^{2} (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Bước 14.5.2

Nhân $4$ với $2$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{\sec^{2} (4 x)}{8} + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{4} \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{8} \sec^{2} (4 x) + C$