Giải tích Ví dụ

$\int \sin^{2} (y) d y$

Bước 1

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (y)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 y)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 y)}{2} d y$

Bước 2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 y) d y$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int d y + \int - \cos (2 y) d y)$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (y + C + \int - \cos (2 y) d y)$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (y + C - \int \cos (2 y) d y)$

Bước 6

Giả sử $u = 2 y$ . Sau đó $d u = 2 d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = 2 y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} (y + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 7

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (y + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (y + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 9

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (y + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 10

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (y - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 y$ .

$\frac{1}{2} (y - \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\sin (2 y)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (y - \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Bước 12.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y$ .

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Bước 12.4

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 y)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

$\frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 12.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$