Giải tích Ví dụ

$\int \sin^{7} (x) \cos^{5} (x) d x$

Bước 1

Đưa $\cos^{4} (x)$ ra ngoài.

$\int \sin^{7} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

Bước 2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int \sin^{7} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

Bước 2.2

Viết lại ${\cos (x)}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$\int \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{7} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Bước 4

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Bước 5

Khai triển $u^{7} {(1 - u^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại ${(1 - u^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int u^{7} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u^{7} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Bước 5.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Bước 5.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Bước 5.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Bước 5.8

Di chuyển $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Bước 5.9

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Bước 5.10

Di chuyển $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Bước 5.11

Di chuyển $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Bước 5.12

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Bước 5.13

Di chuyển $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Bước 5.14

Di chuyển $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Bước 5.15

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Bước 5.16

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.17

Di chuyển $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.18

Nhân $1$ với $1$ .

$\int 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.19

Nhân $u^{7}$ với $1$ .

$\int u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.20

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int u^{7} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.21

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u^{7} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.22

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{7} - u^{7 + 2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.23

Cộng $7$ và $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.24

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.25

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u^{7} - u^{9} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.26

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.27

Cộng $7$ và $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.28

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.29

Nhân $u^{7}$ với $1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.30

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7 + 2} u^{2} d u$

Bước 5.31

Cộng $7$ và $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

Bước 5.32

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9 + 2} d u$

Bước 5.33

Cộng $9$ và $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{11} d u$

Bước 5.34

Trừ $u^{9}$ khỏi $- u^{9}$ .

$\int u^{7} - 2 u^{9} + u^{11} d u$

Bước 5.35

Sắp xếp lại $- 2 u^{9}$ và $u^{11}$ .

$\int u^{7} + u^{11} - 2 u^{9} d u$

Bước 5.36

Di chuyển $u^{7}$ .

$\int u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{11} d u + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{11}$ đối với $u$ là $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Bước 8

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 \int u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{9}$ đối với $u$ là $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \int u^{7} d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{7}$ đối với $u$ là $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{10}$ và $u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{u^{10}}{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

$\frac{u^{12}}{12} - \frac{u^{10}}{5} + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{12} (x)}{12} - \frac{\sin^{10} (x)}{5} + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{12} \sin^{12} (x) - \frac{1}{5} \sin^{10} (x) + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$