Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{1 + 4 x^{3}} (12 x^{2}) d x$

Bước 1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$12 \int \sqrt{1 + 4 x^{3}} (x^{2}) d x$

Bước 2

Giả sử $u = 1 + 4 x^{3}$ . Sau đó $d u = 12 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 1 + 4 x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $1 + 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x^{3}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 4 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 + 4 (3 x^{2})$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$0 + 12 x^{2}$

Bước 2.1.4

Cộng $0$ và $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$12 \int \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Bước 3

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{12}$ .

$12 \int \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{12}$ ra khỏi tích phân.

$12 (\frac{1}{12} \int \sqrt{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $12$ .

$\frac{12}{12} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12}{12} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.3

Nhân $\int \sqrt{u} d u$ với $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + 4 x^{3}$ .

$\frac{2}{3} {(1 + 4 x^{3})}^{\frac{3}{2}} + C$