Giải tích Ví dụ

$\int t e^{- t} d t$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{- t}$ .

$t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t$

Bước 3.2

Nhân $\int e^{- t} d t$ với $1$ .

$t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t$

Bước 4

Giả sử $u = - t$ . Sau đó $d u = - d t$ , nên $- d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = - t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Bước 4.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)$

Bước 7

Viết lại $t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)$ ở dạng $- t e^{- t} - e^{u} + C$ .

$- t e^{- t} - e^{u} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- t$ .

$- t e^{- t} - e^{- t} + C$