Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{\cos^{3} (x)}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- d u = \sin (x) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u^{3}}$ ở dạng $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$- \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Bước 4.3.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 6.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 6.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 6.2.4

Nhân $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$\frac{2}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 8.2

Quy đổi từ $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ sang ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{1} {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.3

Chia $2$ cho $1$ .

$2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$