Giải tích Ví dụ

$\int \frac{3 e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 4 + e^{x}$ . Sau đó $d u = e^{x} d x$ , nên $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 4 + e^{x}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $4 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{x}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Bước 2.1.4

Cộng $0$ và $e^{x}$ .

$e^{x}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 3

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |) + C)$

Bước 4

Rút gọn.

$3 \ln (| u |) + C$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 + e^{x}$ .

$3 \ln (| 4 + e^{x} |) + C$