Giải tích Ví dụ

$\int \frac{3 x + 2}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 2.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\int 3 \sin (t) + 2 d t$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 2 d t$

Bước 4

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

Bước 5

Tích phân của $\sin (t)$ đối với $t$ là $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

Bước 7

Rút gọn.

$- 3 \cos (t) + 2 t + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$- 3 \cos (\arcsin (x)) + 2 \arcsin (x) + C$