Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 x - 7$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 x - 7$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 7]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 5.1.3

Nhân $\int \frac{1}{u^{2}} d u$ với $1$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Bước 7

Viết lại $- u^{- 1} + C$ ở dạng $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x - 7$ .

$- \frac{1}{2 x - 7} + C$