Giải tích Ví dụ

$\int \frac{12 x + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $6$ ra ngoài $12 x + 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $6$ ra ngoài $12 x$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Bước 1.1.2

Đưa $6$ ra ngoài $18$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 6 (3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Bước 1.1.3

Đưa $6$ ra ngoài $6 (2 x) + 6 (3)$ .

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Bước 1.2

Phân tích $x^{2} + 3 x - 4$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 4$ và tổng của chúng là $3$ .

$- 1, 4$

Bước 1.2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Bước 2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = (x - 1) (x + 4)$ . Sau đó $d u = (2 x + 3) d x$ , nên $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = (x - 1) (x + 4)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 4)]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x - 1$ và $g (x) = x + 4$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.1.3.3

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.1.3.4.2

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$x - 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.1.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x - 1 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.1.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.1.3.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + 0)$

Bước 3.1.3.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$x - 1 + (x + 4) \cdot 1$

Bước 3.1.3.8.2

Nhân $x + 4$ với $1$ .

$x - 1 + x + 4$

Bước 3.1.3.8.3

Cộng $x$ và $x$ .

$2 x - 1 + 4$

Bước 3.1.3.8.4

Cộng $- 1$ và $4$ .

$2 x + 3$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$6 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$6 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 6.2

Nhân $6$ với $2$ .

$12 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $(x - 1) (x + 4)$ .

$12 {((x - 1) (x + 4))}^{\frac{1}{2}} + C$