Giải tích Ví dụ

$\int \frac{16 x^{3}}{4 x^{4} + 3} d x$

Bước 1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$16 \int \frac{x^{3}}{4 x^{4} + 3} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 4 x^{4} + 3$ . Sau đó $d u = 16 x^{3} d x$ , nên $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 4 x^{4} + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $4 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 3]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{4} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{4}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $4$ với $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $16 x^{3}$ và $0$ .

$16 x^{3}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$16 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{16} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{16}$ .

$16 \int \frac{1}{u \cdot 16} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $16$ sang phía bên trái của $u$ .

$16 \int \frac{1}{16 u} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{16}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{16}$ ra khỏi tích phân.

$16 (\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{16}$ và $16$ .

$\frac{16}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{16}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 5.3

Nhân $\int \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{4} + 3$ .

$\ln (| 4 x^{4} + 3 |) + C$