Giải tích Ví dụ

$\int \frac{6 x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int \frac{x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

Bước 2

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{4})}^{1}$ .

$6 \int \frac{x^{3}}{2 {(x^{4})}^{1} + 1} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = x^{4}$ . Sau đó $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{4}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$6 \int \frac{1}{2 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn.

$6 \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{2 u_{1} + 1}$ với $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(2 u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

Bước 4.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $2 u_{1} + 1$ .

$6 \int \frac{1}{4 (2 u_{1} + 1)} d u_{1}$

Bước 5

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 7

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1} + 1]$

Bước 7.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 u_{1} + 1$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 7.1.3

Tính $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 7.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 7.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 7.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 7.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 8.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 11

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Bước 12

Rút gọn.

$\frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Bước 13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1} + 1$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 u_{1} + 1 |) + C$

Bước 13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{4}$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 x^{4} + 1 |) + C$