Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{3} + 125}{x + 5} d x$

Bước 1

Chia $x^{3} + 125$ cho $x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$125$

Bước 1.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$

Bước 1.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			+	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Bước 1.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} + 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Bước 1.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Bước 1.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 1.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 5 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 1.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$

Bước 1.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 5 x^{2} - 25 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$

Bước 1.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$

Bước 1.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$

Bước 1.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $25 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$25$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$

Bước 1.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$25$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$
							+	$25 x$	+	$125$

Bước 1.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $25 x + 125$

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$25$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$
							-	$25 x$	-	$125$

Bước 1.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$25$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$
							-	$25 x$	-	$125$
										$0$

Bước 1.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$\int x^{2} - 5 x + 25 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{2} d x + \int - 5 x d x + \int 25 d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 5 x d x + \int 25 d x$

Bước 4

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 5$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 \int x d x + \int 25 d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 25 d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 25 x + C$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 25 x + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 25 x + C$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 25 x + C$