Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - x^{2})}^{3}}} d x$

Bước 2

Giả sử $x = 3 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 3 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $3 \cos (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - (3^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - (9 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.1.3

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - 9 \sin^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 (1) - 9 \sin^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.3

Đưa $9$ ra ngoài $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.4

Đưa $9$ ra ngoài $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 \cos^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $9 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.7

Nâng $9$ lên lũy thừa $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{729 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.8

Nhân các số mũ trong ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{729 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.8.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{729 \cos^{6} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.9

Viết lại $729 \cos^{6} (t)$ ở dạng ${(27 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(27 \cos^{3} (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.10

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{27 \cos^{3} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3 \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $3 \cos (t)$ ra ngoài $27 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \cos (t) (9 \cos^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) (9 \cos^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{9 \cos^{2} (t)} d t$

Bước 4

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Bước 5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ sang $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{9} \int \sec^{2} (t) d t$

Bước 6

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$\frac{1}{9} (\tan (t) + C)$

Bước 7

Rút gọn.

$\frac{1}{9} \tan (t) + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{9} \tan (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{9} \tan (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$