Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{2} - 4}{x^{3} - 12 x + 9} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{3} - 12 x + 9$ . Sau đó $d u = (3 x^{2} - 12) d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 4) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{3} - 12 x + 9$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} - 12 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x + 9]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 12 x + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 12 x$ đối với $x$ là $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 12$ với $1$ .

$3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} - 12 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $3 x^{2} - 12$ và $0$ .

$3 x^{2} - 12$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Bước 5

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} - 12 x + 9$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} - 12 x + 9 |) + C$